Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線(xiàn)段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過(guò)Q點(diǎn)垂直于AD的射線(xiàn)交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)求NC、MC的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？

(3)是否存在某一時(shí)刻t，使射線(xiàn)QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意知，四邊形ABNQ為矩形，∴BN＝AQ＝3－t 　　∴NC＝BC－BN＝4－(3－t)＝1＋t． 　　在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，∴AC＝5 　　在Rt△MNC中，cos∠MCN＝＝＝　∴MC＝(1＋t) 　　(2)∵QD∥PC，∴當(dāng)QD＝PC時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形 　　∴t＝4－t，∴t＝2　∴當(dāng)t＝2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形． 　　(3)若射線(xiàn)QN將△ABC的周長(zhǎng)平分，則有MC＋NC＝AM＋BN＋AB 　　即(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5)　解得t＝．而MN＝NC＝(1＋t) 　　∴S△MNC＝NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2 　　當(dāng)t＝時(shí)，S△MNC＝(1＋)2＝ 　　而S△ABC＝××4×3＝3，∴S△MNC≠S△ABC 　　∴不存在某一時(shí)刻t，使射線(xiàn)QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分 　　(4)若△PMC為等腰三角形，則： 　　①當(dāng)MP＝MC時(shí)(如圖)，則有：NP＝NC 　　即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t)　解得t＝． 　　當(dāng)CM＝CP時(shí)(如圖)，則有：(1＋t)＝4－t　解得t＝． 　　③當(dāng)PM＝PC時(shí)(如圖)，則有： 　　在Rt△MNP中，PM2＝MN2＋PN2　又MN＝NC＝(1＋t) 　　PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3 　　∴[(1＋t)]2＋(2t－3)2＝(4－t)2解得t1＝，t2＝－1(不合題意，舍去) 　　綜上所述，當(dāng)t＝或t＝或t＝時(shí)，△PMC為等腰三角形．