Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．點E是CD的中點，點F是AB上的點，∠ADF=45°，FE=a，梯形ABCD的面積為m．
（1）求證：BF=BC；
（2）求△DEF的面積（用含a、m的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）利用直角梯形的性質和等腰直角三角形的性質可證明：AD=AF，又因為AB=AD+BC，AB=AF+BF，所以可證明BF=BC；
（2）連接CF，過點D作DH⊥BC于H，連接CF，作DH⊥BC于H，易證矩形ABHD、直角三角形CDF，設AD=AF=x，BC=BF=y．有勾股定理可得x²+y²=2a²…①，有梯形的面積公式可得（x+y）²=2m…②，②-①得xy=m-a²，又因為S_△DFC=S_梯形ABCD-S_△AFD-S_△BFC=xy，所以可求出△DEF的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，
∴∠A=90°，
∵∠ADF=45°，
∴∠AFD=45°，
∴AD=AF，
∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，
∴BF=BC；

（2）解：連接FC．
設AD=AF=x，BC=BF=y．
連接CF，作DH⊥BC于H，易證矩形ABHD、直角三角形CDF，
又∵E是CD中點，
∴CD=2EF=2a，
由勾股定理得x²+y²=2a²…①，
有直角梯形的面積公式可得：（x+y）²=2m…②
②-①，得xy=m-a²
∵S_△DFC=S_梯形ABCD-S_△AFD-S_△BFC=

1

2

（x+y）²-

1

2

x²-

1

2

y²=xy．
∴S_△DEF=

1

2

S_△DFC=

1

2

m-

1

2

a²．

點評：本題考查了直角梯形的性質、等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理的運用、三角形的面積公式和梯形的面積公式，題目的綜合性不小，難度也不小．