Question

【題目】已知：如圖所示的兩條拋物線的解析式分別是y1＝－ax2－ax＋1，y2＝ax2－ax－1(其中a為常數，且a＞0)．

（1）請寫出三條與上述拋物線有關的不同類型的結論；

（2）當a＝時，設y1＝－ax2－ax＋1與x軸分別交于M，N兩點(M在N的左邊)，y2＝ax2－ax－1與x軸分別交于E，F兩點(E在F的左邊)，觀察M，N，E，F四點坐標，請寫出一個你所得到的正確結論，并說明理由；

（3）設上述兩條拋物線相交于A，B兩點，直線l，l1，l2都垂直于x軸，l1，l2分別經過A，B兩點，l在直線l1，l2之間，且l與兩條拋物線分別交于C，D兩點，求線段CD的最大值？

Answer 1

【答案】（1）拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，或拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上；拋物線y1＝－ax2－ax＋1的對稱軸是x＝－，或拋物線y2＝ax2－ax－1的對稱軸是x＝；拋物線y1＝－ax2－ax＋1經過點(0，1)，或拋物線y2＝ax2－ax－1經過點(0，－1)；（2）因為MN＝3，EF＝3，所以MN＝EF，見解析；（3）2

【解析】

（1）根據給出的拋物線的解析式并且結合函數的圖象寫出三條不同的結論即可；
（2）先將a=代入拋物線解析式，分別求得M、N、E、F四點坐標，再根據四點坐標寫出合理的結論；
（3）根據題意求出CD關于x的解析式，然后求出當x=0時，CD的值最大．

解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：

①拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，

或拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上；

②拋物線y1＝－ax2－ax＋1的對稱軸是x＝ ，

或拋物線y2＝ax2－ax－1的對稱軸是x＝；

③拋物線y1＝－ax2－ax＋1經過點(0，1)，

或拋物線y2＝ax2－ax－1經過點(0，－1)；

④拋物線y1＝－ax2－ax＋1與y2＝ax2－ax－1的形狀相同，但開口方向相反；

⑤拋物線y1＝－ax2－ax＋1與y2＝ax2－ax－1都與x軸有兩個交點；

⑥拋物線y1＝－ax2－ax＋1經過點(－1，1)或拋物線y2＝ax2－ax－1經過點(1，－1)；

(2)當a＝時，y1＝－x2－x＋1，令－x2－x＋1＝0，

解得xM＝－2，xN＝1.

y2＝x2－x－1，令x2－x－1＝0，解得xE＝－1，xF＝2.

①∵xM＋xF＝0，xN＋xE＝0，∴點M與點F關于原點對稱，點N與點E關于原點對稱；

②∵xM＋xF＋xN＋xE＝0，

∴M，N，E，F四點橫坐標的代數和為0；

③∵MN＝3，EF＝3，∴MN＝EF(或ME＝NF)．

(3)∵a＞0，∴拋物線y1＝－ax2－ax＋1開口向下，拋物線y2＝ax2－ax－1開口向上．

根據題意，得CD＝y1－y2＝(－ax2－ax＋1)－(ax2－ax－1)＝－2ax2＋2.

∴當x＝0時，CD的最大值是2.