Question

【題目】把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫做第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫做第二次運算，……如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”．例如：

，

，

所以32和70都是“快樂數”．

（1）寫出最小的兩位“快樂數”；判斷19是不是“快樂數”；并說明理由；

（2）若一個三位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，把這個三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，求出這個“快樂數”．

Answer 1

【答案】（1）10，是，理由見詳解；（2）310和860.

【解析】

（1）根據“快樂數”的定義計算即可；

（2）設三位“快樂數”為100a+10b+c，根據“快樂數”的定義計算．

解：（1）∵12+02=1，

∴最小的兩位“快樂數”10，

∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，

∴19是快樂數；

（2）設三位“快樂數”為100a+10b+c，由題意，經過兩次運算后結果為1，所以第一次運算后結果一定是10或者100，

則a2+b2+c2=10或100，

∵a、b、c為整數，且a≠0，

∴當a2+b2+c2=10時，12+32+02=10，

①a=1，b=3或0，c=0或3時，三位“快樂數”為130，103，

②當a=2時，無解；

③當a=3，b=1或0，c=0或1時，三位“快樂數”為310，301，

同理當a2+b2+c2=100時，62+82+02=100，

∴三位“快樂數”有680，608，806，860．

綜上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八個，

又因為三位“快樂數”與它的各位上的數字相加所得的和被8除余數是2，

∴只有310和860滿足已知條件．