Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點E、F，連接DE、DF．

(1)試判定四邊形AEDF的形狀，并證明你的結論．

(2)若AE=5，AD=8，求EF的長．

(3)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？

Answer 1

【答案】(1) 四邊形AEDF是菱形，證明見解析；(2)6；(3) 當△ABC中∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形.

【解析】

（1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°證△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四邊形AEDF，根據EF⊥AD得出菱形AEDF；（2）由（1）知菱形AEDF對角線互相垂直平分，故AO=AD=4，根據勾股定理得EO=3，從而得到EF=6；（3）根據有一個角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形．

(1)四邊形AEDF是菱形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又∵EF⊥AD，

∴∠AOE=∠AOF=90°

∵在△AEO和△AFO中

∵，

∴△AEO≌△AFO（ASA），

∴EO=FO，

∵EF垂直平分AD，

∴EF、AD相互平分，

∴四邊形AEDF是平行四邊形

又EF⊥AD，

∴平行四邊形AEDF為菱形；

(2)∵EF垂直平分AD，AD=8，

∴∠AOE=90°，AO=4，

在RT△AOE中，∵AE=5，

∴EO==3，

由(1)知，EF=2EO=6；

(3)當△ABC中∠BAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；

∵∠BAC=90°，

∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．