Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0有實數根．
（1）求m的值；
（2）先作y=x2﹣（m+1）x+ （m2+1）的圖象關于x軸的對稱圖形，然后將所作圖形向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化后圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，當直線y=2x+n（n≥m）與變化后的圖象有公共點時，求n2﹣4n的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：對于一元二次方程x2﹣（m+1）x+ （m2+1）=0，

△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，

∵方程有實數根，

∴﹣（m﹣1）2≥0，

∴m=1．

（2）解：由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

圖象如圖所示：

平移后的解析式為y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．

（3）解：由 消去y得到x2+6x+n+2=0，

由題意△≥0，

∴36﹣4n﹣8≥0，

∴n≤7，

∵n≤m，m=1，

∴1≤n≤7，

令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，

∴n=2時，y′的值最小，最小值為﹣4，

n=7時，y′的值最大，最大值為21，

∴n2﹣4n的最大值為21，最小值為﹣4．

【解析】（1）由題意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）畫出翻折．平移后的圖象，根據頂點坐標即可寫出函數的解析式；（3）首先確定n的取值范圍，利用二次函數的性質即可解決問題；
【考點精析】掌握求根公式和二次函數圖象的平移是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．