Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+y1y2＝0，且A，B均不為原點，則稱A和B互為正交點．比如：A（1，1），B（2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A和B互為正交點．

（1）點P和Q互為正交點，P的坐標為（﹣2，3），

①如果Q的坐標為（6，m），那么m的值為多少；

②如果Q的坐標為（x，y），求y與x之間的關系式；

（2）點M和N互為正交點，直接寫出∠MON的度數；

（3）點C，D是以（0，2）為圓心，半徑為2的圓上的正交點，以線段CD為邊，構造正方形CDEF，圓心F在正方形CDEF的外部，求線段OE長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①m＝4，②y＝x；（2）∠MON＝90°；（3）符合條件的OE的范圍為：2﹣2≤OE≤2+2．

【解析】

（1）①②根據互為正交點的定義，列出方程即可解決問題；

（2）設M（m，n），N（p，q），推出直線OM的解析式為y＝x，直線ON的解析式為y＝x，由點M和N互為正交點，可得mp+nq＝0，推出kOMkON＝＝﹣1即可解決問題；

（3）如圖1中，連接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．尋找特殊位置，求出OE的最大值以及最小值即可．

（1）①由題意：﹣2×6+3m＝0，

解得m＝4，

故答案為4．

②由題意：﹣2x+3y＝0，

∴y＝x．

（2）設M（m，n），N（p，q），

∴直線OM的解析式為y＝x，直線ON的解析式為y＝x，

∵點M和N互為正交點，

∴mp+nq＝0，

∴kOMkON＝＝﹣1，

∴OM⊥ON．

∴∠MON＝90°．

（3）如圖1中，連接EF交CD于H，作FQ⊥CD于Q．

由題意DF＝CF＝2，CD＝DE＝2，DQ＝QC＝FQ＝，

∵FQ∥DE，

∴QH：DH＝FQ：DE＝FH：EH＝1：2，

∴HQ＝，FH＝，

∴EH＝2FH＝，

∴EF＝FH+EH＝2，

在△OFE中，EF﹣OF≤OE≤EF+OF，

∴當點E在y軸的正半軸上時，O、F、E共線，此時OE的值最大，最大值為2+2．

∵原點O在正方形CDEF的外部，

∴當點E在y軸負半軸上時，OE的值最小，最小值為2﹣2．

∴符合條件的OE的范圍為：2﹣2≤OE≤2+2．