Question

【題目】已知四邊形ABCD是矩形，連接AC，點(diǎn)E是邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CA=CE，連接AE，F(xiàn)是線段AE的中點(diǎn)，

（1）如圖1，當(dāng)AD=DC時(shí)，連接CF交AB于M，求證：BM=BE；

（2）如圖2，連接BD交AC于O，連接DF分別交AB、AC于G、H，連接GC，若∠FDB=30°，S四邊形GBOH=，求線段GC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）如圖1，根據(jù)等腰三角形的三線合一得CF⊥AE，則∠AFC=90°，證明△AEB≌△CMB，可得BE=BM；

（2）如圖2，作輔助線構(gòu)建三角形全等，先證明△AMF≌△EBF，得FM=BF，AM=BE，再證明△DMB是等腰三角形，由三線合一得：DF平分∠BDM，根據(jù)∠FDB=30°得△BDM是等邊三角形；由此△ACE為等邊三角形，△OHD為直角三角形，設(shè)未知數(shù)：OH=x，根據(jù)S四邊形GBOH=S△DGB-S△OHD，列方程得出結(jié)論．

詳解：（1）如圖1，∵AC=EC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，

∴CF⊥AE，

∴∠AFC=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，AD=DC，

∴矩形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠AFC=∠ABC，

∵∠AMF=∠BMC，

∴∠EAB=∠MCB，

∵∠ABE=∠ABC=90°，

∴△AEB≌△CMB，

∴BE=BM；

（2）如圖2，連接BF并延長(zhǎng)交直線AD于M，

∵F是AE的中點(diǎn)，

∴AF=EF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，

∴∠M=∠FBE，

∵∠AFM=∠EFB，

∴△AMF≌△EBF，

∴FM=BF，AM=BE，

∵AD=BC，

∴AD+AM=BC+BE，

即DM=CE，

∵AC=CE，

∴EC=DM=AC=BD，

∴△DMB是等腰三角形，

∵F是BM的中點(diǎn)，

∴DF平分∠BDM，

∵∠BDF=30°，

∴∠BDM=60°，

∴△BDM是等邊三角形，

∴∠M=60°，

在Rt△BCD中，∠BDC=90°﹣60°=30°，

∴∠DBC=60°，

∵OB=OC，

∴∠DBC=∠OCB=60°，

∴△ACE為等邊三角形，

在△OHD中，∠HOD=∠BOC=60°，

∴∠OHD=90°，

設(shè)OH=x，則OD=2x，BD=4x，BC=2x，

∴DH=x，AH=x，DC=AB=2x，

Rt△ABC中，∠ACE=60°，

∴∠BAC=30°，

∴cos30°=，

AG==，

∴BG=AB﹣AG=2x﹣=，

∴S四邊形GBOH=S△DGB﹣S△OHD，

=BGAD﹣OHDH，

=2x﹣xx=，

解得：x2=9，

x=±3，

∴BC=2x=6，

BG=×3=4，

由勾股定理得：CG===2．