Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+3的圖象與反比例函數y＝（x＞0，k是常數）的圖象交于A（a，2），B（4，b）兩點．

（1）求反比例函數的表達式；

（2）點C是第一象限內一點，連接AC，BC，使AC∥x軸，BC∥y軸，連接OA，OB．若點P在y軸上，且△OPA的面積與四邊形OACB的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 反比例函數的表達式為y＝（x＞0）;(2) 點P的坐標為（0，4）或（0，﹣4）

【解析】

（1）根據點A（a，2），B（4，b）在一次函數y＝﹣x+3的圖象上求出a、b的值，得出A、B兩點的坐標，再運用待定系數法解答即可；

（2）延長CA交y軸于點E，延長CB交x軸于點F，構建矩形OECF，根據S四邊形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF，設點P（0，m），根據反比例函數的幾何意義解答即可．

（1）∵點A（a，2），B（4，b）在一次函數y＝﹣x+3的圖象上，

∴﹣a+3＝2，b＝﹣×4+3，

∴a＝2，b＝1，

∴點A的坐標為（2，2），點B的坐標為（4，1），

又∵點A（2，2）在反比例函數y＝的圖象上，

∴k＝2×2＝4，

∴反比例函數的表達式為y＝（x＞0）；

（2）延長CA交y軸于點E，延長CB交x軸于點F，

∵AC∥x軸，BC∥y軸，

則有CE⊥y軸，CF⊥x軸，點C的坐標為（4，2）

∴四邊形OECF為矩形，且CE＝4，CF＝2，

∴S四邊形OACB＝S矩形OECF﹣S△OAE﹣S△OBF

＝2×4﹣×2×2﹣×4×1

＝4，

設點P的坐標為（0，m），

則S△OAP＝×2|m|＝4，

∴m＝±4，

∴點P的坐標為（0，4）或（0，﹣4）．