Question

【題目】如圖，在中，，是的外接圓，連結OA、OB、OC，延長BO與AC交于點D，與交于點F，延長BA到點G，使得，連接FG.

備用圖

（1）求證：FG是的切線；

（2）若的半徑為4.

①當，求AD的長度；

②當是直角三角形時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②當時，；當時，.

【解析】

（1）連接AF，由圓周角定理的推論可知，根據等腰三角形的性質及圓周角定理的推論可證，，從而可得，然后根據切線的判定方法解答即可；

（2）①連接CF，根據“SSS”證明，由全等三角形及等腰三角形的性質可得，進而可證，由平行線分線段成比例定理可證，可求，然后由相交弦定理求解即可；

②分兩種情況求解即可，（i）當時，（ii）當時.

（1）連接AF，

∵BF為的直徑，

∴，，

∴，

∵，∴，

∵，，

∴，

∴，即.

又∵OF為半徑，

∴FG是的切線.

（2）①連接CF，

則，

∵AB=AC，OB=OC，OA=OA，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵半徑是4，，∴，，

∴，即，

又由相交弦定理可得：，

∴，即，

∴（舍負）；

（2）②∵為直角三角形，不可能等于.

∴（i）當時，則，

由于，∴，，

∴，

∴，，

∴；

（ii）當時，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，

延長AO交BC于點M，

∵AB=AC，

∴弧AB=弧AC，

∴，

∴，

∴，

∴.