Question

【題目】（問題情境）如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

（1）（問題解決）延長AD到點E使DE=AD，再連接BE（或將△ACD繞著點D逆時針旋轉180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷出中線AD的取值范圍是　 　．

（反思感悟）解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮構造以該中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同個三角形中，從而解決問題．

（2）（嘗試應用）如圖②，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，試猜想線段AB，AC，AD之間的數量關系，并說明理由．

（3）（拓展延伸）如圖③，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，DM⊥DN，DM交AB于點M，DN交AC于點N，連接MN．當BM=4，MN=5，AC=6時，請直接寫出中線AD的長．

Answer 1

【答案】（1）2＜AD＜8；（2）AB2＋AC2＝4AD2，理由見解析；（3）AD＝5．

【解析】

（1）延長AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△BDE≌△CDA，得出BE＝AC＝8，在△ABE中，由三角形的三邊關系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；

（2）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖②所示，由（1）可知△BDE≌△CDA，然后只要證明∠ABE＝90°，利用勾股定理即可得出結論；

（3）延長ND到E，使得DN＝DE，連接BE、EM，首先證明△BDE≌△CDN，求出∠ABD＋∠DBE＝90°，然后利用勾股定理可得BE＝3，進而得到AN＝NC，利用三線合一證明DN⊥AC，同理可得DM⊥AB，然后證明四邊形AMDN是矩形即可解決問題.

解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDA中，，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE＝AC＝6，

在△ABE中，由三角形的三邊關系得：ABBE＜AE＜AB＋BE，

∴106＜AE＜10＋6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

（2）AB2＋AC2＝4AD2，

理由：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖②所示，

由（1）可知：△BDE≌△CDA，

∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，

∵∠BAC＝90°，

∴∠E＋∠BAE＝∠BAE＋∠CAD＝∠BAC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AB2＋BE2＝AE2，

∴AB2＋AC2＝4AD2；

（3）如圖③，延長ND到E，使得DN＝DE，連接BE、EM．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDN，DE＝DN，

∴△BDE≌△CDN，

∴BE＝CM，∠EBD＝∠C，

∵∠ABC＋∠C＝90°，

∴∠ABD＋∠DBE＝90°，

∵MD⊥EN，DE＝DN，

∴ME＝MN＝5，

在Rt△BEM中，BE＝＝3，

∴CN＝BE＝3，

∵AC＝6，

∴AN＝NC，

∵∠BAC＝90°，BD＝DC，

∴AD＝DC＝BD，

∴DN⊥AC，

在Rt△AMN中，AM＝＝4，

∴AM＝BM，

∵DA＝DB，

∴DM⊥AB，

∴∠AMD＝∠AND＝∠MAN＝90°，

∴四邊形AMDN是矩形，

∴AD＝MN＝5．