Question

【題目】在解決數學問題時，我們常常從特殊入手，猜想結論，并嘗試發現解決問題的策略與方法．

（問題提出）

求證：如果一個定圓的內接四邊形對角線互相垂直，那么這個四邊形的對邊的平方和是一個定值．

（從特殊入手）

我們不妨設定圓O的半徑是R，⊙O的內接四邊形ABCD中，AC⊥BD．

請你在圖①中補全特殊殊位置時的圖形，并借助于所畫圖形探究問題的結論．

（問題解決）

已知：如圖②，定圓⊙O的半徑是R，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形， AC⊥BD．

求證： ．

證明：

Answer 1

【答案】【從特殊入手】見解析；【問題解決】見解析.

【解析】分析：(1)、當AC、BD是兩條互相垂直的直徑時，然后根據直角三角形的勾股定理分別得出四條邊的平方，從而得出答案；(2)、作直徑DE，連接CE，根據弧與角的關系得出AB＝CE，然后根據勾股定理得出答案．

詳解：【從特殊入手】

如果一個定圓的內接四邊形對角線互相垂直，

那么這個四邊形的對邊平方和是定圓半徑平方的4倍．

法1 如圖1，當AC、BD是兩條互相垂直的直徑時．

則AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2， CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，

BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2， AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．

所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

【問題解決】

求證：AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝4R2．

證明一：如圖2．作直徑DE，連接CE．

∵DE是直徑，∴∠DCE＝90°． ∵所對的圓周角是∠E與∠DAH，

∴∠E＝∠DAH． ∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°， ∴∠ADB＝∠CDE．

∴＝． ∴AB＝CE． ∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．

同理：BC2＋AD2＝4R2．