Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為AB上方的圓上一動點，過點C作⊙O的切線l，過點A作直線l的垂線AD，交⊙O于點D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點 E．

（1）求證：△CDE≌△CBE；

（2）若AB＝6，填空：

①當的長度是　 　時，△OBE是等腰三角形；

②當BC＝　 　時，四邊形OADC為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①π；②3

【解析】

（1）由已知可得CE⊥BD，則可知DE＝BE，所以△CDE≌△CBE（SAS）；

（2）①連接OD，由已知可證明△ABD是等腰直角三角形，求得∠COD＝45°，即可求的長度；②由已知可得OA＝OC＝AD＝CD＝3，再由△CDE≌△CBE，則CD＝BC．

解：（1）∵過點C作⊙O的切線l，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，

∴OC∥AD，

∵AB為⊙O的直徑，點C為AB上方的圓上一動點，

∴AD⊥BD，

∴BD⊥OC，

∴DE＝BE，

∴△CDE≌△CBE（SAS）；

（2）①連接OD，

當△OBE是等腰三角形時，

∵BE⊥OE，

∴OE＝BE，

∴∠OBE＝∠EOB＝45°，

∵AD∥OC，

∴∠A＝45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠COD＝45°，

∵AB＝6，

∴AO＝3，

∴的長度＝＝π，

故答案為π；

②∵四邊形OADC為菱形，

∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，

∵△CDE≌△CBE，

∴CD＝BC，

∴BC＝3，

故答案為3．