Question

【題目】在中，的平分線交于點,交的延長線于點

（1）如圖1，若，則 (直接寫出結果) .

（2）如圖2，若為的點，連接,求的值;

（3）如圖3,若連接,求的值.

Answer 1

【答案】（1）3 （2） （3）1

【解析】

（1）由角平分線的定義和等腰三角形的判定與性質可得出AD＝AF＝2，BE＝BF＝1，則CD的長可求出；

（2）連接AG，BG，證明△AFG≌△CBG（SAS），可得AG＝CG，∠AGF＝∠CGB，則∠AGC＝∠FGB＝90°，可求出答案；

（3）分別延長DA，EH交于點N，連接CN，證明四邊形DNEC是菱形，可得出△DCN和△CEN都是等邊三角形，則CN＝CE，∠DNC＝∠NEC＝60°，證明△ANC≌△HEC（SAS），得出AC＝HC，則答案求出．

（1）如圖

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴DC∥AB，AD∥BC，

∴∠CDF＝∠DFA，

∵∠ADC的平分線交AB于點F，

∴∠CDF＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠DFA，

∴AD＝AF＝2，

∵AD∥BC，

∴∠E＝∠ADF，

∵∠AFD＝∠BFE，

∴∠BFE＝∠E，

∴BE＝BF＝1．

∴AB＝DC＝2＋1＝3．

故答案為：3．

（2）如圖，連接AG，BG．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ADC＝90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠EBF＝90°，

∵G為EF的中點，

∴FG＝BG＝EG，

∴∠BFG＝∠FBG＝45°，

∴∠AFG＝∠CBG＝135°，

∵∠AFD＝∠BFG，

∴∠AFD＝45°，

∴AD＝AF，

∵AD＝BC，

∴BC＝AF，

∴△AFG≌△CBG（SAS），

∴AG＝CG，∠AGF＝∠CGB，

∴∠AGC＝∠FGB＝90°，

∴AC＝=CG，

∴；

（3）如圖，分別延長DA，EH交于點N，連接CN，

∵∠ADC＝60°，DE平分∠ADC，

∴∠DCE＝120°，∠CDE＝30°，

∴∠CED＝30°，

∴∠CDE＝∠CED，

∴CD＝CE，

∵EH∥AB，AB∥CD，

∴EN∥CD，

∵DN∥CE，

∴四邊形DNEC為平行四邊形，

∴四邊形DNEC是菱形，

∴DC＝DN，

∵∠ADC＝60°，

∴△DCN和△CEN都是等邊三角形，

∴CN＝CE，∠DNC＝∠NE＝60°，

∵EH＝BE，

∴AN＝BE＝EH，

∴△ANC≌△HEC（SAS），

∴AC＝HC，

∴＝1．