Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k≠0）沿著y軸向上平移3個單位長度后，與x軸交于點B（3，0），與y軸交于點C，拋物線y=x2+bx+c過點B、C且與x軸的另一個交點為A．

（1）求直線BC及該拋物線的表達式；

（2）設該拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；

（3）如果點F在y軸上，且∠CDF=45°，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；（2）S△DBC=3；（3）F（0，﹣）．

【解析】試題分析：

（1）由題意可設平移后的直線的解析式為y=kx+3，代入點B的坐標可求得k的值，從而可得直線BC的解析式y=-x+3，由此可解得點C的坐標，將B、C的坐標代入拋物線的解析式列方程組可求得b、c的值，即可得到拋物線的解析式；

（2）如圖1所示：過點C作CE∥x軸，過點B作EF∥y軸，過點D作DF∥x軸，由（1）中所得拋物線的解析式求出其頂點D的坐標即可由S△DBC=S四邊形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面積了；

（3）如圖2所示：過點F作FG⊥CD，垂足為G．由（1）（2）易得CD=，tan∠OCD=tan∠GCF=，則CG=2FG，由∠GCF=45°，∠FGD=90°可得△FGD為等腰直角三角形，由此可得FG=GD，由此可得CD=3FG，則FG=，CG=，從而在Rt△CFG中，可得CF=，則OF=CF﹣OC=，就可得到點F的坐標為（0，﹣）．

試題解析：

（1）將直線y=kx（k≠0）沿著y軸向上平移3個單位長度，所得直線的解析式為y=kx+3，

將點B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．

令x=0得：y=3，

∴C（0，3）．

將B（3，0），C（0，3）代入拋物線的解析式得： ，解得：b=﹣4，c=3，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）如圖1所示：過點C作CE∥x軸，過點B作EF∥y軸，過點D作DF∥x軸．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．

∴D（2，﹣1）．

∴S△DBC=S四邊形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．

（3）如圖2所示：過點F作FG⊥CD，垂足為G，由（1）（2）易得CD=，

∵C（0，3），D（2，﹣1），

∴CD=，

∵tan∠OCD=tan∠GCF=，

∴CG=2FG．

又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD為等腰直角三角形，

∴FG=GD．

∴CD=3FG，

∴FG=．

∴CG=2FG=．

∴在Rt△CFG中，依據勾股定理可知：CF=．

∴OF=CF﹣OC=．

∴F（0，﹣）．