Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點E為AD中點，點P為線段AB上一個動點，連接EP，將△APE沿PE折疊得到△FPE，連接CE，CF，當△ECF為直角三角形時，AP的長為_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分兩種情況進行討論：當∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形；當∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形，分別根據直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

分兩種情況進行討論：①如圖所示，當∠CFE=90°時，△ECF是直角三角形．

由折疊可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，

即點P，F，C在一條直線上．

在Rt△CDE和Rt△CFE中，，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，設AP=FP=x，則BP=4﹣x，CP=x+4．

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，

解得：x，即AP；

②如圖所示，當∠CEF=90°時，△ECF是直角三角形．

過F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，則∠FQE=∠D=90°．

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得：FQ，QE，

∴AQ=HF，AH，

設AP=FP=x，則HPx．

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，

即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1．

綜上所述：AP的長為1或．