Question

【題目】如圖 1 是臺灣某品牌手工蛋卷的外包裝盒，其截面圖如圖 2 所示，盒子上方是一段圓弧（弧 MN ）.D，E 為手提帶的固定點， DE 與弧MN 所在的圓相切，DE=2.手提帶自然下垂時，最低點為C，且呈拋物線形，拋物線與弧MN 交于點 F，G.若△CDE 是等腰直角三角形，且點 C，F 到盒子底部 AB 的距離分別為 1， ，則弧MN 所在的圓的半徑為_____．

Answer 1

【答案】.

【解析】

以DE的垂直平分線為y軸，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，設拋物線的表達式為y=ax2+1，因為△CDE是等腰直角三角形，DE=2，得點E的坐標為（1，2），可得拋物線的表達式為y=x2+1，把當y代入拋物線表達式，求得MH的長，再在Rt△FHM中，用勾股定理建立方程，求得所在的圓的半徑．

如圖，以DE的垂直平分線為y軸，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，設所在的圓的圓心為P，半徑為r，過F作y軸的垂線交y軸于H，設拋物線的表達式為y=ax2+1．

∵△CDE是等腰直角三角形，DE=2，∴點E的坐標為（1，2），代入拋物線的表達式，得：2=a+1，a=1，∴拋物線的表達式為y=x2+1，當y時，即，解得：，∴FH．

∵∠FHM=90°，DE與所在的圓相切，∴，解得：，∴所在的圓的半徑為．

故答案為：．