Question

【題目】如圖，Rt△ABC，∠BAC=90°，點D，E分別為邊AB，BC的中點，點F在CA延長線上，且∠FDA=∠B．

(1)求證：AF=DE；

(2)若AC=3，BC=5，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8

【解析】

（1）根據中位線的性質可知DE∥CF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=BE，進而推出∠BAE=∠B=∠FDA，推出AE∥DF，然后根據平行四邊形的判定和性質得出結論；

（2）由平行四邊形的性質可知AF=ED，AE=DF，根據中位線的性質可知ED=AC，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=BE=BC，根據平行四邊形的周長=2DE+2AE即可求出答案．

解：∵Rt△ABC，∠BAC=90°，點D，E分別為邊AB，BC的中點，

∴ED∥AC，AE=BE，

∴∠BAE=∠B

∵∠B=∠FDA，

∴∠BAE =∠FDA，

∴AE∥DF，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴AF=DE；

（2）∵四邊形AEDF是平行四邊形，

∴ED=AF

∵Rt△ABC，∠BAC=90°，點D，E分別為邊AB，BC的中點，

∴ED=AC，AE=BE=BC，

∵AC=3，BC=5，

∴平行四邊形AEDF的周長=2DE+2AE=AC+BC=3+5=8