Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD，點O為AD中點，點E在BD上，連接EO并延長交BC于點F，連接BE，DF．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）若AB=3，AD=6，∠BAD=135°，當四邊形BEDF為菱形時，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) AE =1.

【解析】

（1）先根據“SAS”證明△DOE≌△BOF，從而ED=BF，再根據一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形即可證得結論成立；

（2）過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，可證△ABH是等腰直角三角形，從而求出BH=HA=3，設AE=x，則EB=ED=6－x，在Rt△BHE中，利用勾股定理列方程求解即可.

（1）證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC∥AD，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵點O為AD中點，∴BO=OD

∵在△DOE和△BOF中，

，

∴△DOE≌△BOF，

∴ED=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

（2）如圖，過點B作BH⊥AD，交DA延長線于點H，

∵∠BAD=135°，

∴∠BAH=45°

在Rt△ABH中，AB=3，

∴BH=HA=3，

設AE=x，

∵四邊形BEDF為菱形，

∴EB=ED=6－x

在Rt△BHE中，BH2+HE2=BE2，

∴32+（3+x）2=（6－x）2

解得：x=1 ，

∴AE =1.