Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．

（1）求證：AD＝AF；

（2）如果AB＝AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形ADCF是正方形，證明詳見解析．

【解析】

（1）由E是AD的中點，AF∥BC，易證得△AEF≌△DEB，即可得AF＝BD，又由在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可證得AD＝BD＝CD＝BC，即可證得：AD＝AF；

（2）由AF＝BD＝DC，AF∥BC，可證得：四邊形ADCF是平行四邊形，又由AB＝AC，根據三線合一的性質，可得AD⊥BC，AD＝DC，繼而可得四邊形ADCF是正方形．

解：（1）證明：∵AF∥BC，

∴∠EAF＝∠EDB，

∵E是AD的中點，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF＝BD，

∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，

∴AD＝BD＝DC＝BC，

∴AD＝AF；

（2）解：四邊形ADCF是正方形．

∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵AB＝AC，AD是中線，

∴AD⊥BC，

∵AD＝AF，

∴四邊形ADCF是正方形．