Question

【題目】問題探究：三角形的角平分線是初中幾何中一條非常重要的線段，它除了具有平分角、角平分線上的點到角兩邊的距離相等這些性質外，還具有以下的性質：

如圖①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，則＝．提示：過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E．

請根據上面的提示，寫出得到“”這一結論完整的證明過程．

結論應用：如圖②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AD平分∠BAC交BC于點D．請直接利用“問題探究”的結論，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】問題探究：見解析；結論應用：

【解析】

問題探究：過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E，可證∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，由角平分線的性質可證AC＝AE，結合平行線分線段成比例定理，即可得結論；

結論應用：由勾股定理可求AB的長，由，可求CD的長．

問題探究：過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E，

∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠E＝∠ACE，

∴AC＝AE，

∵CE∥AD，

∴，

∴，

結論應用：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AB，

設CD的長為x，則BD的長為15﹣x，

∵AD平分∠BAC，

∴

∴

解得：

∴CD的長為：．