Question

【題目】已知平行四邊形ABCD，過點A作BC的垂線，垂足為點E，且滿足AE＝EC，過點C作AB的垂線，垂足為點F，交AE于點G，連接BG．

（1）如圖1，若AC＝，CD＝4，求BC的長度；

（2）如圖2取AC上一點Q，連接EQ，在△QEC內取一點，連接QH，EH，過點H作AC的垂線，垂足為點P，若QH＝EH，∠QEH＝45°．求證：AQ＝2HP．

Answer 1

【答案】（1）3+；（2）見解析

【解析】

（1）利用勾股定理分別求出AE，BE即可解決問題．

（2）如圖2中，如圖2中，作EM⊥QE交QH的延長線于M，連接CM．證明△ABQ≌△CEM（SAS），推出AQ＝CM，再利用三角形的中位線定理解決問題即可．

（1）解：如圖1中，

∵AE⊥BC于E，

∴∠AEC＝90°，

∵AE＝EC，AC＝，

∴AE＝EC＝，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD＝4，

∵∠AEB＝90°，

∴BE＝，

∴BC＝BE+EC＝3+．

（2）證明：如圖2中，如圖2中，作EM⊥QE交QH的延長線于M，連接CM．

∵QH＝EH，∠QEH＝45°，

∴∠QEH＝∠EQH＝45°，

∴∠EHQ＝90°，

∵EM⊥EQ，

∴∠MEQ＝90°，

∴∠EMQ＝∠EQM＝45°，

∴EQ＝EM，

∵EH⊥QM，

∴QH＝HM，

∵∠AEC＝∠QEM＝90°，

∴∠AEQ＝∠CEM，

∵EA＝EC，EQ＝EM，

∴△AEQ≌△CEM（SAS），

∴AQ＝CM，∠EAQ＝∠ECM＝45°，

∵∠ACE＝45°，

∴∠ACM＝90°，

∵HP⊥QC，

∴∠HPQ＝∠MCP，

∴HP∥CM，

∴QP＝PC，

∵QH＝HM，

∴CM＝2PH，

∴AQ＝2PH．