Question

【題目】在平面直角坐標中，邊長為 2 的正方形 OABC 的兩頂點 A、C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上，點 O 在原點.現將正方形 OABC 繞 O 點順時針旋轉，當 A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉，旋轉過程中，AB 邊交直線 y=x于點 M，BC 邊交 x 軸于點 N（如圖）.

（1）求邊 OA 在旋轉過程中所掃過的面積；

（2）旋轉過程中，當 MN 和 AC 平行時，求正方形 OABC 旋轉的度數；

（3）試證明在旋轉過程中, △MNO 的邊 MN 上的高為定值；

（4）設△MBN 的周長為 p，在旋轉過程中，p 值是否發生變化？若發生變化，說明理由；若不發生變化，請給予證明，并求出 p 的值.

Answer 1

【答案】（1）OA 在旋轉過程中所掃過的面積為 0.5π ；（2）旋轉過程中，當 MN 和 AC 平行時，正方形 OABC 旋轉的度數為 45°-22.5°=22.5 度;（3）MN 邊上的高為 2（4）在旋轉正方形 OABC 的過程中，p 值無變化．見解析.

【解析】

（1）過點M作MH⊥y軸，垂足為H，如圖1，易證∠MOH=45°，然后運用扇形的面積公式就可求出邊OA在旋轉過程中所掃過的面積．
（2）根據正方形和平行線的性質可以得到AM=CN，從而可以證到△OAM≌△OCN．進而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋轉角∠HOA的度數．
（3）過點O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點，如圖2，易證△OAE≌△OCN，從而得到OE=ON，AE=CN，進而可以證到△OME≌△OMN，從而得到∠OME=∠OMN，然后根據角平分線的性質就可得到結論．
（4）由△OME≌△OMN（已證）可得ME=MN，從而可以證到MN=AM+CN，進而可以推出p=AB+BC=4，是定值．

解：（1）過點M作MH⊥y軸，垂足為H，如圖1，
∵點M在直線y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH= =1，
∴∠MOH=45°．
∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，
∴OA旋轉了45°．
∵正方形OABC的邊長為2，
∴OA=2．
∴OA在旋轉過程中所掃過的面積為 =0.5π．∵A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉， ∴OA 旋轉了 45 度．

∴OA 在旋轉過程中所掃過的面積為 0.5π ．

（2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45 度．

∴∠BMN=∠BNM．BM=BN．

又∵BA=BC，AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，

∴△OAM ≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON．

∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5 度．

∴旋轉過程中，當 MN 和 AC 平行時，正方形 OABC 旋轉的度數為 45°-22.5°=22.5 度．

（3）證明：過點O作OF⊥MN，垂足為F，延長BA交y軸于E點，如圖2，

則∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=2．
∴在旋轉過程中，△MNO的邊MN上的高為定值．MN 邊上的高為 2；

（4）在旋轉正方形OABC的過程中，p值不變化．
證明：延長 BA 交 y 軸于 E 點，則∠AOE=45°-∠AOM，

∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

∴∠AOE=∠CON．

又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

∴△OAE ≌△OCN．

∴OE=ON，AE=CN．

又 ∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

∴△OME ≌△OMN．

∴MN=ME=AM+AE． ∴MN=AM+CN，

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

∴在旋轉正方形 OABC 的過程中，p 值無變化．

故答案為：（1）OA 在旋轉過程中所掃過的面積為 0.5π ；（2）旋轉過程中，當 MN 和 AC 平行時，正方形 OABC 旋轉的度數為 45°-22.5°=22.5 度;（3）MN 邊上的高為 2（4）在旋轉正方形 OABC 的過程中，p 值無變化．見解析.