Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+5經過坐標軸上A、B和C三點，連接AC，tanC＝，5OA＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點Q在第四象限的拋物線上且橫坐標為t，連接BQ交y軸于點E，連接CQ、CB，△BCQ的面積為S，求S與t的函數解析式；

（3）已知點D是拋物線的頂點，連接CQ，DH所在直線是拋物線的對稱軸，連接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x軸交拋物線于點R，HQ＝HR，求點R的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝t2+t；（3）點R（﹣1，﹣6）．

【解析】

（1）c＝5，OC＝5，tanC＝，則OA＝3，5OA＝3OB，則OB＝5，故點A、B、C的坐標分別為：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），即可求解；

（2）S＝×CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t﹣5）＝t2+t；

（3）證明△CTE≌△QTJ（AAS），故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，tan∠EQN＝tan∠JCN，即，解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故點Q（3m，5﹣6m），將點Q的坐標代入拋物線表達式并解得：m＝0（舍去）或，故點Q（4，﹣3），設：HR＝k，則點R（k﹣1，﹣k2+），

QS＝yQ﹣yR＝k2﹣，由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，即（k2﹣）2+25＝k2，即可求解．

解：（1）由題意知c＝5，

∴OC＝5，

∵tanC＝，

∴OA＝3，

∵5OA＝3OB，

∴OB＝5，

故點A、B、C的坐標分別為：（3，0）、（﹣5，0）、（0，5），

則拋物線表達式為：y＝a（x+5）（x﹣3）＝a（x2+2x﹣15），

即﹣15a＝5，解得：a＝﹣，

故拋物線的表達式為：；

（2）設點Q（t，﹣t2﹣t+5），點B（﹣5，0），

把點B、Q的坐標代入一次函數y＝mx+n并解得：

直線BQ的表達式為：y＝﹣（t﹣3）（x+5），

故點E（0，﹣t+5），

S＝×CE×（xQ﹣xB）＝×（5+t﹣5）×（t+5）＝t2+t；

（3）過點Q作QJ∥x軸交y軸于點N，交對稱軸于點L，過點C作CT⊥BQ于點T，

延長CT交QJ于點J，過點Q作y軸的平行線交x軸于點K，交HR于點S，

則OKQN為矩形，OK＝QN＝t，

由（2）知，CE＝t，故QN：CE＝3：5，

設QN＝3m，則CE＝5m，

∵∠BQC＝45°，故CT＝QT，

∠EQN＝90°﹣∠NEQ＝90°﹣∠CET＝∠TCE＝∠JCN，

故△CTE≌△QTJ（AAS），

故CE＝QJ＝5m，JN＝JQ﹣QN＝5m﹣3m＝2m，

tan∠EQN＝tan∠JCN，即

解得：EN＝m或﹣6m（舍去﹣6m）；

CN＝CE+EN＝5m+m＝6m，故點Q（3m，5﹣6m），

將點Q的坐標代入拋物線表達式并解得：m＝0（舍去）或，

故點Q（4，﹣3），

拋物線的頂點D坐標為：（﹣1，），

QL＝4+1＝5＝HS，

設：HR＝k，則點R（k﹣1，﹣k2+），

QS＝yQ﹣yR＝k2﹣，

由勾股定理得：QS2+HS2＝HQ2，

即（k2﹣）2+25＝k2，

解得：k＝（不合題意值已舍去），

故點R（﹣1，﹣6）．