Question

已知二次函數y=a（x-1）²-a（x-1）（a為常數，且a≠0），圖象的頂點為C．以下三個判斷：

①無論a為何值，該函數的圖象與x軸一定有兩個交點；

②無論a為何值，該函數的圖象在x軸上截得的線段長為1；

③若該函數的圖象與x軸有兩個交A、B，且S_△ABC=1時，則a=8

其中，正確的是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ①③
4. D.
   ①②③

Answer 1

A
分析：首先去括號，進而求出b²-4ac的符號以及圖象與x軸的交點坐標，再結合三角形面積求出a的值．
解答：y=a（x-1）²-a（x-1）=ax²-3ax+2a，
∵b²-4ac=（3a）²-4×a×2a=a²，a為常數，且a≠0，
∴＞0，
∴①無論a為何值，該函數的圖象與x軸一定有兩個交點，正確；
∵y=ax²-3ax+2a=a（x-1）（x-2），
∴圖象與x軸交點坐標為：（1，0），（2，0），
∴②無論a為何值，該函數的圖象在x軸上截得的線段長為1，正確；
③若該函數的圖象與x軸有兩個交A、B，且S_△ABC=1時，
三角形的高為2，即頂點坐標為：（1，-2）或（1，2），
則a=8或-8，此選項錯誤．
故其中，正確的是①②．
故選；A．
點評：此題主要考查了拋物線與x軸交點性質，得出圖象與x軸的坐標是解題關鍵．