Question

【題目】已知點A（－2，2），B（8，12）在拋物線y=ax2+bx上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點F的坐標為（0，m）（m>4），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H，設拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求之值（用含m的代數式表示）；

（3）如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點，點P從點C出發，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒個單位長度，同時點Q從原點O出發，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM＝3PM，求t的值.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3），，，

【解析】分析：(1)、根據點A、B的坐標利用待定系數法，即可求出拋物線的解析式；(2)、根據點A、F的坐標利用待定系數法，可求出直線AF的解析式，聯立直線AF和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點G的坐標，過A作AN⊥x軸于點N得出點N的坐標，根據方程求出x的值得出答案；(3)、根據點A、B的坐標利用待定系數法，可求出直線AB的解析式，進而可找出點P、Q的坐標，分點M在線段PQ上以及點M在線段QP的延長線上兩種情況考慮，借助相似三角形的性質可得出點M的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出關于t的一元二次方程，解之即可得出結論．

詳解：解：(1)、點A（－2，2），B（8，12）在拋物線y=ax2+bx上，∴ ∴，∴；

(2)、設直線AF的解析式為y=kx+m， ∵A（－2，2）在AF上，∴2＝－2k+m，k=(m－2)，

∴直線y=kx+m可化為， 則

∴x2－2(m－1)x－4m=0， ∴(x+2)(x－2m)＝0，∴x=－2或x=2m， ∴G的橫坐標為2m，

∴OH＝2m，∵OF＝m，∴FH=，過A作AN⊥x軸于點N，則N(－2，0)，

令，∴x=0或x=2， ∴OE=2，NE=4 ∴AE=，∴；

(3)、由題意A（－2，2），B（8，12），直線AB的解析式為：y=x+4，∠BCO＝45°，

直線AB與x軸交點為C（－4，0），設P（t－4，t），則Q（t，0），設M（，）

由QM＝3PM可得，則｜t－｜=3｜－t+4｜，

（ⅰ）當t－=3（-t+4）即=t-3，直線PQ的解析式為tx+4y-t2=0，

∴=，∴M（t-3，），代入 即，

∴t2－11t+15=0，∴，即：，；

（ⅱ）當-t＝3(-t+4)即=t－6，∴，∴，

代入即，∴t2－20t+48=0，

∴， 即：，；

綜上所述，所求t為：，，，．