Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的個數是（　　）

①圖甲，DE⊥AC，BF⊥AC

②圖乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC

③圖丙，E是AB的中點，F是CD的中點

④圖丁，E是AB上一點，EF⊥AB．

A. 3個B. 4個C. 1個D. 2個

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四邊形ABCD是平行四邊形，利用△ACD與△ACB的面積相等，即可判定DE=BF，然后由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形BFDE是平行四邊形；
②由四邊形ABCD是平行四邊形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易證得△ADE≌△CBF，則可判定DE∥BF，DE=BF，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
③由四邊形ABCD是平行四邊形，E是AB的中點，F是CD的中點，易證得DF∥BE，DF=BE，繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形；
④無法確定DF=BE，只能證得DF∥BE，故不能判定四邊形BFDE是平行四邊形．

解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S△ACD=S△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，S△ACD=ACDE，S△ABC=ACBF，
∴DE=BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，

，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

③證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中點，F是CD的中點，
∴DF=CD，BE=AB，
∴DF=BE，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；

④∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB上一點，EF⊥AB，
無法判定DF=BE，
∴四邊形BFDE不一定是平行四邊形．
故選：A．