Question

【題目】 如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（7，5），頂點A，C分別在x軸，y軸上，點D的坐標為（0，1），過點D的直線與矩形OABC的邊BC交于點G，且點G不與點C重合，以DG為一邊作菱形DEFG，點E在矩形OABC的邊OA上，設直線DG的函數表達式為y=kx+b

（1）當CG=OD時，求直線DG的函數表達式；

（2）當點E的坐標為（5，0）時，求直線DG的函數表達式；

（3）連接BF，設△FBG的面積為S，CG的長為a，請直接寫出S與a的函數表達式及自變量a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=4x+1；（2）y=x+1；（3）S=（7-a）（0＜a≤）

【解析】

（1）利用矩形的性質結合點B的坐標可得出點A，C的坐標，由點D的坐標結合CG=OD可得出點G的坐標，由點D，G的坐標，利用待定系數法即可求出直線DG的函數表達式；

（2）利用勾股定理可求出DE的長，由菱形的性質及勾股定理可求出CG的長，進而可得出點G的坐標，由點D，G的坐標，利用待定系數法即可求出直線DG的函數表達式；

（3）設DG交x軸于點P，過點F作FM⊥x軸于點M，延長MF交BC于點N，易證△DCG≌△FME（AAS），利用全等三角形的性質可得出FM的長度，進而可得出FN的長，再利用三角形的面積公式可得出S與a的函數表達式，結合點G不與點C重合及點E在OA上可求出a的取值范圍，此題得解．

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點B的坐標為（7，5），點A，C分別在x軸，y軸上，

∴點C的坐標為（0，5），點A的坐標為（7，0）．

∵點D的坐標為（0，1），CG=OD，

∴點G的坐標為（1，5）．

將D（0，1），G（1，5）代入y=kx+b，得：

，

解得：，

∴當CG=OD時，直線DG的函數表達式為y=4x+1．

（2）在Rt△ODE中，OD=1，OE=5，∠DOE=90°，

∴DE==．

∵四邊形DEFG為菱形，

∴DG=DE=．

在Rt△CDG中，DG=，CD=OC-OD=4，∠DCG=90°，

∴CG==，

∴點G的坐標為（，5）．

將D（0，1），G（，5）代入y=kx+b，得：

，

解得：，

∴當CG=OD時，直線DG的函數表達式為y=x+1．

（3）設DG交x軸于點P，過點F作FM⊥x軸于點M，延長MF交BC于點N，如圖所示．

∵DG∥EF，

∴∠FEM=∠GPO．

∵BC∥OA，

∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．

在△DCG和△FME中，

，

∴△DCG≌△FME（AAS），

∴FM=DC=4．

∵MN⊥x軸，

∴四邊形OMNC為矩形，

∴MN=OC=5，FN=MN-FM=1．

∵CG的長為a，

∴BG=BC－CG=7－a

∴S=BGFN=（7-a）．

∵點E在邊OA上，點G在BC邊上，且點G不與點C重合，

∴DE≤=5，a＞0，

∴DG=≤5，

∴0＜a≤．

∴S與a的函數表達式為S=（7-a）（0＜a≤）．