Question

【題目】如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線BD＝16，對角線AC，BD相交于點G，點O是直線BD上的動點，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.

(1)求對角線AC的長及菱形ABCD的面積．

(2)如圖①，當點O在對角線BD上運動時，OE＋OF的值是否發生變化？請說明理由．

(3)如圖②，當點O在對角線BD的延長線上時，OE＋OF的值是否發生變化？若不變，請說明理由；若變化，請探究OE，OF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）12；96 （2）答案見解析 （3）答案見解析

【解析】

（1）根據菱形的對角線互相垂直平分求出BG，再利用勾股定理列式求出AG，然后根據AC=2AG計算即可得解；再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解；

（2）連接AO，根據S△ABD=S△ABO+S△ADO列式計算即可得解；

（3）連接AO，根據S△ABD=S△ABO-S△ADO列式整理即可得解.

解：(1)在菱形ABCD中，AG＝CG，AC⊥BD，BG＝BD＝×16＝8，

由勾股定理得AG＝，

所以AC＝2AG＝2×6＝12.

所以菱形ABCD的面積＝AC·BD＝×12×16＝96.

(2)不發生變化．理由如下：如圖①，連接AO，則S△ABD＝S△ABO＋S△AOD，

所以BD·AG＝AB·OE＋AD·OF，

即×16×6＝×10·OE＋×10·OF.

解得OE＋OF＝9.6，是定值，不變．

(3)發生變化．如圖②，連接AO，則S△ABD＝S△ABO－S△AOD，

所以BD·AG＝AB·OE－AD·OF.

即×16×6＝×10·OE－×10·OF.

解得OE－OF＝9.6，是定值，不變．

所以OE＋OF的值發生變化，OE，OF之間的數量關系為OE－OF＝9.6.