Question

【題目】如圖，在菱形中，，過點作于點，交對角線于點，過點作于點.

（1）若，求四邊形的面積；（2）求證：.（溫馨提示；連接）

Answer 1

【答案】（1）四邊形的面積是；（2）見解析.

【解析】

(1)首先求出△ABD的面積,再求出RT△DFG的面積是，進而可求出四邊形ABFG的面積是.

(2) 連結AC，交BD于點O，根據已知條件和菱形的性質看證明△ABO≌△DAE和△AOF≌△AGF，由全等三角形的性質即可證明BF=AE+FG

（1）∵∠1=∠2=30，

∴AF=DF.

又∵FG⊥AD于點G，

∴AG=AD，

∵AB=2，

∴AD=2，AG=1.

∴DG=1,AO=1,FG=,BD=，

∴△ABD的面積是,RT△DFG的面積是

∴四邊形ABFG的面積是53√6.∴四邊形的面積是.

（2）證明：連結交于點.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD,∠ABC=∠ADC,∠4=12∠ABC,∠2=12∠ADC，AC⊥BD，

∵∠ABC=60，

∴∠2=∠4=12∠ABC=30，

又∵AE⊥CD于點E,

∴∠AED=90，

∴∠1=30，

∴∠1=∠4,∠AOB=∠DEA=90，

∴△ABO≌△DAE，

∴AE=BO.

又∵FG⊥AD于點G，

∴∠AOF=∠AGF=90，

又∵∠1=∠3，AF=AF，

∴△AOF≌△AGF，

∴FG=FO.

∴BF=AE+FG.