Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝AB，點E在BC上，以BE為直徑的⊙O經過點A，點D是直徑BE下方半圓的中點，AD交BC于點F，且∠B＝2∠D．

（1）求∠B的度數；

（2）求證：AC為⊙O的切線；

（3）連接DE，若OD＝3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）∠B＝30°；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）先判斷出∠BAO+∠DAO＝45°，再判斷出∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，即可得出結論；

（2）先求出∠C＝30°，∠AOC＝60°，即可得出結論；

（3）先求出AE＝3，再計算出CF，進而求出EF，最后判斷出△DEF∽△DAE，即可得出結論．

解：（1）如圖1，連接OA，

∵點D是直徑BE下方半圓的中點，

∴，

∴∠BOD＝∠EOD＝90°，

∴∠BAD＝∠BOD＝45°，

∴∠BAO+∠DAO＝45°，

∵OA＝OB＝OD，

∴∠DAO＝∠D，∠BAO＝∠B，

∴∠B+∠D＝45°，

∵∠B＝2∠D，

∴∠B＝30°；

（2）由（1）知，∠B＝30°，

∵AC＝AB，

∴∠C＝∠B＝30°，

∴∠AOC＝2∠B＝60°，

∴∠CAO＝180°﹣∠C﹣∠CAO＝90°，

∵OA為⊙O的半徑，

∴AC為⊙O的切線；

（3）如圖2，連接OA，AE，則∠BAE＝90°，

在Rt△ACO中，∠CAO＝90°，∠C＝30°，AO＝OE＝DO＝3，

∴AC=AO=3，OC＝2AO＝6，

∴CE＝OC﹣OE＝3，

∴CE＝OE＝3，

由（2）知，∠CAO＝90°，

∴AE＝OC＝3，

∵∠CAO＝∠COD＝90°，∠OAD＝∠ODA＝∠B＝15°，

∴∠CAF＝∠OFD＝75°，

∵∠CFA＝∠OFD，

∴∠CAF＝∠CFA，

∴CF＝AC＝3，

∴EF=CF-CE=3

連接DE，

∴∠DEF＝∠BAD＝45°，

∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，

∴∠DEF＝∠DAE，

∵∠EDF＝∠ADE，

∴△EDF∽△ADE，

∴．