Question

【題目】如圖，A、B、C是直線l上的三個點，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝a，且BD＝BE．

（1）求證：AC＝AD+CE；

（2）若a＝120°，點F在直線l的上方，△BEF為等邊三角形，補全圖形，請判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）△ACF為等邊三角形．

【解析】

（1）由外角的性質可得∠ADB＝∠CBE，由“AAS”可得△ADB≌△CBE，可得AD＝CB，AB＝CE，可得結論；

（2）由“SAS”可證△AFB≌△CFE，可得AF＝CF，∠AFB＝∠CFE，可得∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°，可得△ACF是等邊三角形．

證明：（1）∵∠DAB＝∠DBE＝α，

∴∠ADB+∠ABD＝∠CBE+∠ABD＝180°﹣α．

∴∠ADB＝∠CBE

在△ADB和△CBE中，

∵,

∴△ADB≌△CBE（AAS）

∴AD＝CB，AB＝CE．

∴AC＝AB+BC＝AD+CE

（2）補全圖形．

△ACF為等邊三角形．

理由如下：

∵△BEF為等邊三角形，

∴BF＝EF，∠BFE＝∠FBE＝∠FEB＝60°．

∵∠DBE＝120°，∴∠DBF＝60°．

∵∠ABD＝∠CEB（已證），

∴∠ABD+∠DBF＝∠CEB+∠FEB，

即∠ABF＝∠CEF．

∵AB＝CE（已證），

∴△AFB≌△CFE（SAS），

∴AF＝CF，∠AFB＝∠CFE．

∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠CFE+∠BFC＝60°．

∴△ACF為等邊三角形．