Question

【題目】（探究）如圖①，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點P．

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠A=　 　度，∠P=　 　度

（2）∠A與∠P的數量關系為　 　，并說明理由．

（應用）如圖②，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點P．∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點Q．直接寫出∠A與∠Q的數量關系為　 　．

Answer 1

【答案】（1）50，115；（2）（3）

【解析】

根據三角形內角和及角平分線的定義即可算出.

解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，

∴∠A=50°，

∵∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點P，

∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，

∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠P=180°﹣65°=115°，

故答案為：50，115；

（2）．

證明：∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，

∴，，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，

∴，

∴，

∴；

（3）．

理由：∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點Q，

∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，

∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，

∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．