Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（4，0），點B（0，3），把△ABO繞點B逆時針旋轉，得△A′BO′，點A，O旋轉后的對應點為A′，O′，記旋轉角為α．

（1）如圖①，若α=90°，求AA′的長；
（2）如圖②，若α=120°，求點O′的坐標；
（3）在（Ⅱ）的條件下，邊OA上 的一點P旋轉后的對應點為P′，當O′P+BP′取得最小值時，求點P′的坐標（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，

∵點A（4，0），點B（0，3），

∴OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵△ABO繞點B逆時針旋轉90°，得△A′BO′，

∴BA=BA′，∠ABA′=90°，

∴△ABA′為等腰直角三角形，

∴AA′= BA=5

（2）

解：作O′H⊥y軸于H，如圖②，

∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，

∴∠HBO′=60°，

在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，

∴BH= BO′= ，O′H= BH= ，

∴OH=OB+BH=3+ = ，

∴O′點的坐標為（ ， ）

（3）

解：∵△ABO繞點B逆時針旋轉120°，得△A′BO′，點P的對應點為P′，

∴BP=BP′，

∴O′P+BP′=O′P+BP，

作B點關于x軸的對稱點C，連結O′C交x軸于P點，如圖②，

則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時O′P+BP的值最小，

∵點C與點B關于x軸對稱，

∴C（0，﹣3），

設直線O′C的解析式為y=kx+b，

把O′（ ， ），C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，

∴直線O′C的解析式為y= x﹣3，

當y=0時， x﹣3=0，解得x= ，則P（ ，0），

∴OP= ，

∴O′P′=OP= ，

作P′D⊥O′H于D，

∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，

∴∠DP′O′=30°，

∴O′D= O′P′= ，P′D= O′D= ，

∴DH=O′H﹣O′D= ﹣ = ，

∴P′點的坐標為（ ， ）

【解析】本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉的性質；理解坐標與圖形性質；會利用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；記住含30度的直角三角形三邊的關系．（1）如圖①，先利用勾股定理計算出AB=5，再根據旋轉的性質得BA=BA′，∠ABA′=90°，則可判定△ABA′為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質求AA′的長；（2）作O′H⊥y軸于H，如圖②，利用旋轉的性質得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，則∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出BH和O′H的長，然后利用坐標的表示方法寫出O′點的坐標；（3）由旋轉的性質得BP=BP′，則O′P+BP′=O′P+BP，作B點關于x軸的對稱點C，連結O′C交x軸于P點，如圖②，易得O′P+BP=O′C，利用兩點之間線段最短可判斷此時O′P+BP的值最小，接著利用待定系數法求出直線O′C的解析式為y= x﹣3，從而得到P（ ，0），則O′P′=OP= ，作P′D⊥O′H于D，然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關系可計算出P′D和DO′的長，從而可得到P′點的坐標．
【考點精析】本題主要考查了線段的基本性質和含30度角的直角三角形的相關知識點，需要掌握線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短．也可簡單說成：兩點之間線段最短；連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離；線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能正確解答此題．