Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B，C重合），CN⊥DM，與AB交于點N，連接OM，ON，MN．下列四個結論：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正確結論的個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

據正方形的性質，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，根據全等三角形的性質以及勾股定理進行計算即可得出結論．

∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，

∴∠BCN＋∠DCN＝90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM＋∠DCN＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；

∵△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，

又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM＝ON故②正確，

∵△OCM≌△OBN，

∴∠COM＝∠BON，

∴∠MON＝∠COB＝90°，

∴△MON是等腰直角三角形，

∵△AOD也是等腰直角三角形，

∴△OMN∽△OAD，故③正確，

∵AB＝BC，CM＝BN，

∴BM＝AN，

又∵Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，

∴AN2＋CM2＝MN2，

故④正確；

∴本題正確的結論有：①②③④，

故選：D．