Question

【題目】已知關于x的一元二次方程，

（1）求證：該一元二次方程總有兩個實數根；

（2）若該方程只有一個小于4的根，求m的取值范圍；

（3）若x1，x2為方程的兩個根，且n＝x12+x22﹣4，判斷動點所形成的數圖象是否經過點，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）m≥2；（3）經過，理由見解析.

【解析】

（1）由△=[-（m+4）]2-4（2m+4）=m2≥0知方程有兩個實數根；

（2）由一元二次方程的求根公式得出方程的兩個根，由于其中一個等于2，已經小于4，故令另外一個含有m的根大于等于4，即可求出m的值；

（3）先由一元二次方程根與系數的關系得出x1+x2=m+4，x1x2=2m+4，代入n=x12+x22-4，從而將動點P（m，n）僅用含m的代數式表示，再將點A（-5，9）代入驗證即可．

（1）證明：∵b2﹣4ac＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，

∴該一元二次方程總有兩個實數根；

（2）解：∵關于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0

∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4

∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝

∴x1＝m+2，x2＝2

∵該方程只有一個小于4的根

∴m+2≥4

∴m≥2；

（3）∵x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4

∴n＝x12+x22﹣4

＝﹣2x1x2﹣4

＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4

＝m2+4m+4

∴動點P（m，n）可表示為（m，m2+4m+4）

∴當m＝﹣5時，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9

∴動點P（m，n）所形成的數圖象經過點A（﹣5，9）．