Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點點M不與B，C重合，，CN與AB交于點N，連接OM，ON，下列五個結論：≌；≌；∽；；若，則的最小值是，其中正確結論的個數是　　

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據正方形的性質,可判定△CNB≌△DMC, △OCM≌△OBN, △CON≌△DOM, △OMN∽△OAD,根據全等三角形的性質以及勾股定理可進行求解.

因為正方形ABCD中,CD=BC, ∠BCD=90°,

所以∠BCN+∠DCN=90°,

因為CN⊥DM,

所以∠CDM+∠DCN=90°,

所以∠BCN=∠CDM,

又因為∠CBN=∠DCM=90°,

所以△CNB≌△DMC,故①正確,

根據△CNB≌△DMC,可得CM=BN,

又因為∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,

所以△OCM≌△OBN,

所以OM=ON, ∠COM=∠BON,

所以∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,

又因為DO=CO,

所以△OCN≌△DOM,故②正確,

因為∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,

所以∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,

又因為△AOD是等腰直角三角形,

所以△OMN∽△OAD,故③正確,

因為AB=BC,CM=BN,

所以BM=AN,

又因為Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,

所以AN2+CM2=MN2,故④正確,

△OCM≌△OBN,

所以四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,

當△MNB的面積最大時, △MNO的面積最小,

設BN=x=CM,則BM=2-x,

所以△MNB的面積=,

當x=1時, △MNB的面積有最大值

此時△OMN的面積最小值是,故⑤正確,

故選D.