Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊在BC同側分別作等邊三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．

(1)四邊形ADEF為__________四邊形；

(2)當△ABC滿足條件____________時，四邊形ADEF為矩形；

(3)當△ABC滿足條件____________時，四邊形ADEF為菱形；

(4)當△ABC滿足條件____________時，四邊形ADEF不存在．

Answer 1

【答案】(1)平行；(2)∠BAC=150°；(3)AB=AC且∠BAC≠60°；(4)∠BAC=60°.

【解析】

（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）利用菱形的性質與判定得出即可；

（4）根據∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F為頂點的四邊形就不存在．

（1）證明：∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，

∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．

在△ABC和△DBE中

，

∴△ABC≌△DBE（SAS）．

∴DE=AC．

又∵AC=AF，

∴DE=AF．

同理可得EF=AD．

∴四邊形ADEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，

∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，

∴∠FAD=90°．

∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．

則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

故答案為：∠BAC=150°；

（3）當AB=AC且∠BAC≠60°時，四邊形ADEF是菱形，

理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF，

∵AC=AB，

∴AD=AF，

∵四邊形ADEF是平行四邊形，AD=AF，

∴平行四邊形ADEF是菱形．

故答案為：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）；

（4）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，

此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F為頂點的四邊形就不存在；

故答案為：∠BAC=60°．