Question

【題目】在菱形中，為直線上的點，為直線上的點，分別連接，，且．

（1）若，點在線段上，點在線段的延長線上，如圖①，易證：（不需證明）；

（2）如圖②，若∠B＝120°，點在線段上，點在線段的延長線上，如圖③，猜想線段，和之間有怎樣的數量關系？請直接寫出對圖②，圖③的猜想，并選擇其中一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）②結論：；③結論：，證明見解析

【解析】

（1）連接AC，過P作PE∥CD交AC于E，由四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，得出△ACD是等邊三角形，∠PDQ=120°，由PE∥CD，得出△APE是等邊三角形，∠PEC=120°，由AAS證得△PCE≌△PQD，得出PE=DQ，AP=DQ，即可得出結論；

（2）①結論：．如圖②中，延長到，使得，連接．只要證明是等邊三角形，即可解決問題；

②結論：．如圖③中，在上截取，連接．只要證明是等邊三角形，即可解決問題；

解：（1）證明：連接AC，過P作PE∥CD交AC于E，如圖①所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CD=AB，∠ADC=∠B=60°，
∴△ACD是等邊三角形，∠PDQ=120°，
∴AC=AD，∠DAC=∠ACD=60°，
∵PE∥CD，
∴∠AEP=∠ACD=60°，∠APE=∠ADC=60°，
∴△APE是等邊三角形，∠PEC=120°，
∴AE=PE=AP，
∵PC=PQ，
∴∠PCQ=∠Q，
∵∠ACD=∠ECP+∠PCQ，∠ADC=∠DPQ+∠Q，
∴∠ECP=∠DPQ，
在△PCE和△PQD中，

，

∴△PCE≌△PQD（AAS），
∴PE=DQ，
∴AP=DQ，
∴DQ+PD=AP+PD=AD=AB；

（2）②結論：．

理由：如圖②中，延長到，使得，連接．

四邊形是菱形，，

，都是等邊三角形，

，

是等邊三角形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

；

③結論：．

理由：如圖③中，在上截取，連接．

，

，，

是等邊三角形，

，，

，

，

，

，

，

，

．