Question

【題目】已知：如圖，在ABCD中，∠ADC，∠DAB的平分線DF，AE分別與線段BC相交于點F，E，DF與AE相交于點G．

（1）求證：AE⊥DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，AE＝4，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質和平行線的性質推出∠ADC+∠DAB=180°，根據角平分線得到∠ADF+∠DAE=（∠ADC+∠DAB）=90°，即可求出結論；

（2）過點D作DH∥AE，交BC的延長線于點H，得到平行四邊形AEHD，求出DH=AE=4，EH=AD=10，根據平行四邊形的性質和平行線的性質推出DC=FC，AB=EB，求出BF、FE、FH的長，根據勾股定理即可求出答案．

試題解析：（1）∵在ABCD中，AB∥CD，

∴∠ADC＋∠DAB＝180°，

∵DF，AE分別是∠ADC，∠DAB的平分線，

∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∠DAE＝∠BAE＝∠DAB，

∴∠ADF＋∠DAE＝（∠ADC＋∠DAB）＝90°，

∴∠AGD＝90°，即AE⊥DF；

（2）如圖，過點D作DH∥AE，交BC的延長線于點H，則四邊形AEHD是平行四邊形，且FD⊥DH，

∴DH＝AE＝4，EH＝AD＝10，

∵在ABCD中，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAE＝∠BEA，

∴∠CDF＝∠CFD，∠BAE＝∠BEA，

∴DC＝FC，AB＝EB，

在ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝DC＝6，∴CF＝BE＝6，BF＝BC－CF＝10－6＝4，

∴FE＝BE－BF＝6－4＝2，∴FH＝FE＋EH＝12，

在Rt△FDH中，DF＝ .