Question

【題目】(12分)如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連結OA、OD，如圖，根據垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點得到OD⊥BE，則∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根據對頂角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，則∠OAD+∠CAF=90°，于是根據切線的判定定理即可得到AC是⊙O的切線；

（2）由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理計算DF的長．

試題解析：（1）連結OA、OD，如圖，

∵D為BE的下半圓弧的中點，

∴OD⊥BE，

∴∠D+∠DFO=90°，

∵AC=FC，

∴∠CAF=∠CFA，

∵∠CFA=∠DFO，

∴∠CAF=∠DFO，

而OA=OD，

∴∠OAD=∠ODF，

∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，

∴OA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵圓的半徑R=5，EF=3，

∴OF=2，

在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，

∴DF=．