Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c（b、c是常數）與x軸有兩個交點，其中有一點的坐標為A（1，0），點P（m，t）（m≠0）為拋物線上的一個動點．

（1）設y′=m+t，寫出y′關于m的函數解析式，并求出該函數圖象的對稱軸（用含c的代數式表示）；

（2）在（1）的條件下，當m≤3時，與其對應的函數y′的最小值為﹣，求拋物線y=x2+bx+c的解析式；

（3）在（2）的條件下，P點關于原點的對稱點為P′，且P′落在第一象限內，當P′A2取得最小值時，求m與t的值．

Answer 1

【答案】（1）y′=m2﹣cm+c m=c（2）y=x2+2x﹣3（3）t=﹣m=

【解析】【試題分析】（1）根據點P（m，t）（m≠0）為拋物線上的一個動點得：

t=m2+bm+c，則y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+（b+1）m+c，

將A（1，0）代入y=x2+bx+c，得1+b+c=0，b+1=﹣c，

y′=m2﹣cm+c．根據二次函數的對稱軸表達式為：該函數圖象的對稱軸為m=c；

（2）由（1）知，y′=m2﹣cm+c，對稱軸為m=c；

當c≤3時，即：c≤6，此時，m=c時，拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值，

即： c2﹣c×c+c=﹣，

解得：c=﹣3或c=7（舍去），

當c=﹣3時，b=﹣c﹣1=2．

即y=x2+2x﹣3；

（3）當y=x2+2x﹣3時，

∵P關于原點的對稱點為P'，有P'（﹣m，﹣t）．

由P'（﹣m，﹣t）在第一象限，

∴﹣m＞0，﹣t＞0．即m＜0，t＜0．

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點為（﹣1，﹣4）

∴﹣4≤t＜0．

由A點坐標為（1，0），

利用兩點間的距離公式得：P'A2=（﹣m﹣1）2+t2=（m+1）2+t2，

∵t=m2+2m﹣3=（m+1）2﹣4，

變形：（m+1）2=t+4，

∴P'A2=t2+t+4=（t+）2+

∴當t=﹣時，P'A2取得最小值．

把t=﹣代入t=m2+2m﹣3，得﹣=m2+2m﹣3

解得m=或m=（舍）

故：當t=﹣時，m=.

【試題解析】

（1）∵t=m2+bm+c．

∴y′=m+t=m+m2+bm+c=m2+（b+1）m+c，

將A（1，0）代入y=x2+bx+c，得1+b+c=0，b+1=﹣c，

∴y′=m2﹣cm+c．

∴該函數圖象的對稱軸為m=c；

（2）由（1）知，y′=m2﹣cm+c，對稱軸為m=c；

當c＞3時，即：c＞6，此時，m=3時，拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值，

∵點P（m，t），

∴點P的橫坐標是3，

即：點P是定點，不是動點，不符合題意，

當c≤3時，即：c≤6，此時，m=c時，拋物線y′=m2﹣cm+c取最小值，

即： c2﹣c×c+c=﹣，

∴c=﹣3或c=7（舍去），

當c=﹣3時，b=﹣c﹣1=2．

∴y=x2+2x﹣3；

（3）當y=x2+2x﹣3時，

∵P關于原點的對稱點為P'，有P'（﹣m，﹣t）．

由P'（﹣m，﹣t）在第一象限，

∴﹣m＞0，﹣t＞0．即m＜0，t＜0．

由拋物線y=x2+2x﹣3的頂點為（﹣1，﹣4）

∴﹣4≤t＜0．

由A點坐標為（1，0），

∴P'A2=（﹣m﹣1）2+t2=（m+1）2+t2，

∵t=m2+2m﹣3=（m+1）2﹣4，

∴（m+1）2=t+4，

∴P'A2=t2+t+4=（t+）2+

∴當t=﹣時，P'A2取得最小值．

把t=﹣代入t=m2+2m﹣3，得﹣=m2+2m﹣3

解得m=或m=（舍）

∴當t=﹣時，m=