Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）拋物線的解析式__；（2）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止．若使點M在整個運動中用時最少，則點E的坐標__．

Answer 1

【答案】y＝x2﹣x+3； （2，1）．

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據銳角三角函數，可得AE與NE的關系，根據路程與速度，可得點M在整個運動中所用的時間為DE＋EN，根據兩點之間線段最短，可得當D′、E、N三點共線時，DE＋EN最小，根據矩形的判定與性質，可得ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC，根據拋物線與x軸的交點可得OD的長，再求ON的長，可得答案．

解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入，

得，解得．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x+3，

故答案為y＝x2﹣x+3；

（2）∵A（0，3），C（3，0），

∴OA＝OC＝3，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠OAC＝45°，

過點E作EN⊥y軸于N，如圖，

在Rt△ANE中，EN＝AEsin45°＝AE，即AE＝EN，

∴點M在整個運動中所用的時間為＝DE+EN，

作點D關于AC的對稱點D′，連接D′E，

則有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，

∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN，

根據兩點之間線段最短可得：當D′、E、N三點共線時，DE+EN＝D′E+EN最小，

此時，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，

∴四邊形OCD′N是矩形，

∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．

對于y＝x2﹣x+3，當y＝0時，有x2﹣x+3＝0，

解得：x1＝2，x2＝3．

∴D（2，0），OD＝2，

∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，

∴點E的坐標為（2，1），

故答案為（2，1）．