Question

【題目】某數學課外興趣小組成員在研究下面三個有聯系的問題，請你幫助他們解決：

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點E，F分別在AB，DC上，點G，H分別在AD，BC上且EF⊥GH，求的值．

（2）如圖2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將矩形對折，使得B、D重疊，折痕為EF，求EF的長．

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1，過點G作GM⊥CB于M，過點E作EN⊥CD于點N，可證四邊形DCMG是矩形，四邊形ABMG是矩形，四邊形AEND是矩形，四邊形BCNE是矩形，可得GM=CD=AB，EN=AD=BC，通過證明△EFN∽△GHM，可求解；

（2）如圖2，連接BD交EF于點O，DE，BF，可證四邊形DFBE是菱形，可得BO=DO，EO=FO，BD⊥EF，由勾股定理可求DE，DO，EO的長，即可求EF的長；

（3）過點D作EF⊥BC，交BC的延長線于F，過點A作AE⊥EF，連接AC，由“SSS”可證△ACD≌△ACB，可得∠ADC=∠ABC=90°，通過證明△ADE∽△DCF，可得AE=2DF，DE=2CF，由勾股定理可求DE的長，即可求解．

（1）如圖1，過點G作GM⊥CB于M，過點E作EN⊥CD于點N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，

∴四邊形DCMG是矩形，四邊形ABMG是矩形，四邊形AEND是矩形，四邊形BCNE是矩形，

∴GM＝CD＝AB，EN＝AD＝BC，

∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，

∴∠EFC+∠GHC＝180°，且∠DFE+∠EFC＝180°，

∴∠EFN＝∠GHC，且∠ENF＝∠GMH＝90°，

∴△EFN∽△GHM，

∴；

（2）如圖2，連接BD交EF于點O，DE，BF，

∵將矩形對折，使得B、D重疊，

∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，

∵AB∥CD，

∴∠DFE＝∠BEF，

∴∠DFE＝∠DEF，

∴DF＝DE，且BE＝DE，

∴BE＝DF，且AB∥CD，

∴四邊形DFBE是平行四邊形，且DF＝DE，

∴四邊形DFBE是菱形，

∴BO＝DO，EO＝FO，BD⊥EF，

∵DE2＝AE2+AD2，

∴DE2＝9+（4﹣DE）2，

∴DE＝，

∵BD＝＝＝5，

∴DO＝BO＝，

∴OE＝＝＝，

∴EF＝2OE＝；

（3）如圖3，過點D作EF⊥BC，交BC的延長線于F，過點A作AE⊥EF，連接AC，

∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，

∴四邊形ABFE是矩形，

∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，

∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，

∴△ACD≌△ACB（SSS）

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，

∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，

∴△ADE∽△DCF，

∴，

∴AE＝2DF，DE＝2CF，

∵DC2＝CF2+DF2，

∴16＝CF2+（8﹣2CF）2，

∴DE＝4（不合題意舍去），DE＝，

∴BF＝BC+CF＝＝AE，

由（1）可知：＝＝．