Question

【題目】已知：如圖，在△中，，是邊上的中線，于點，與交于點.

（1）求證：；

（2）過點作交的延長線于點.求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由三線合一可證BD=CD，然后通過證明△BDH∽△ADC，即可證明結論成立；

（2）連接CH，由等腰三角形的性質可證∠ABH=∠ACH.根據平行線的性質定理得到∠BFC=∠FBA，從而∠BFC=∠ECH；然后可證△CFH∽△ECH，并根據相似三角形的性質定理與等量代換得到結論.

（1）∵，是邊上的中線，

∴AD⊥BC，BD=CD,

∴∠ACD+∠CAD=90°.

∵,

∴∠EBD+∠ACB=90°,

∴∠CAD=∠CBD,

∵∠BDH=∠CDH=90°,

∴△BDH∽△ADC,

∴,

∴;

（2）如圖所示，連接CH.

∵AD⊥BC，BD=CD,

∴AD垂直平分BC，

∴BH=CH,

∴∠HBD=∠HCD,

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB,

∴∠ABH=∠ACH.

∵AB∥CF，

∴∠BFC=∠FBA.

∴∠BFC=∠ECH.

在△CFH與△ECH中，

∵∠BFC=∠ECH，∠CHE=∠CHF，

∴△CFH∽△ECH，

∴CH:HE=HF:CH.

又∵BH=CH，

∴BH2=HE·HF.