Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C，給出如下定義：

如果矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形．例如，下圖中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是點A，B，C的覆蓋矩形，其中矩形AB3C3D3是點A，B，C的最優覆蓋矩形．

（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．

①當t＝2時，點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為 ；

②若點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為40，求直線AC的表達式；

（2）已知點D（1，1）．E（m，n）是函數y＝（x＞0）的圖象上一點，⊙P是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形的外接圓，求出⊙P的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）35， ；（2）.

【解析】

（1）①由矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形，得出最優覆蓋矩形的長為：2+5=7，寬為3+2=5，即可得出結果；

②由定義可知，t=-3或6，即點C坐標為（-3，-2）或（6，-2），設AC表達式為y=kx+b，代入即可求出結果；

（2）OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形，OD所在的直線表達式為y=x，得出點E的坐標為（2，2），⊙P的半徑最小r=，當點E的縱坐標為1時，⊙P的半徑最大r=，即可得出結果．

（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一條邊均與某條坐標軸平行，且A，B，C三點都在矩形的內部或邊界上，則稱該矩形為點A，B，C的覆蓋矩形．點A，B，C的所有覆蓋矩形中，面積最小的矩形稱為點A，B，C的最優覆蓋矩形，

∴最優覆蓋矩形的長為：2+5＝7，寬為3+2＝5，

∴最優覆蓋矩形的面積為：7×5＝35；

②∵點A，B，C的最優覆蓋矩形的面積為40，

∴由定義可知，t＝﹣3或6，即點C坐標為（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），

設AC表達式為y＝kx+b，

∴或

∴或

∴y＝5x+13或；

（2）①OD所在的直線交雙曲線于點E，矩形OFEG是點O，D，E的一個面積最小的最優覆蓋矩形，如圖1所示：

∵點D（1，1），

∴OD所在的直線表達式為y＝x，

∴點E的坐標為（2，2），

∴OE＝，

∴⊙P的半徑最小r＝，

②當DE∥x軸時，即：點E的縱坐標為1，如圖2所示：

∵點D（1，1）．E（m，n）是函數y＝（x＞0）的圖象上一點

∴1＝，解得x＝4，

∴OE═=，

∴⊙P的半徑最大r＝，

∴．