Question

【題目】如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH．

（1）如圖1，點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數量關系；

（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉．

①如圖2，判斷BH和AF的數量關系，并說明理由；

②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形；如果四方形ABCD的邊長為，求正方形EFGH的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BH=AF，理由見解析，②正方形EFGH的邊長為．

【解析】（1）根據正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；

（2）①根據正方形的性質得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根據全等三角形的性質即可得到結論；

②如備用圖，根據平行四邊形的性質得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根據勾股定理即可得到結論．

（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，

∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，

在△BEH和△AEF中，

∵，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；

（2）①BH=AF，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AE=BE，∠BEA=90°，

∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，∠HEF=90°，∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，

即∠BEH=∠AEF，

在△BEH與△AEF中，∵，∴△BEH≌△AEF，∴BH=AF；

②如備用圖．∵四邊形ABDH是平行四邊形，∴AH∥BD，AH=BD，∴∠EAH=∠AEB=90°，

∵四方形ABCD的邊長為，∴AE=BE=CE=DE=1，

∴EH===，

∴正方形EFGH的邊長為．