Question

【題目】某學校舉行“青春心向黨建功新時代”演講比賽活動，準備購買甲、乙兩種獎品，小昆發現用480元購買甲種獎品的數目恰好與用360元購買乙種獎品的數目相等，已知甲種獎品的單價比乙種獎品的單價多10元．

(1)求甲、乙兩種獎品的單價各是多少元？

(2)如果需要購買甲乙兩種獎品共100個，且甲種獎品的數目不低于乙種獎品數目的2倍，問購買多少個甲種獎品，才使得總購買費用最少？

Answer 1

【答案】(1) 甲種獎品的單價為40元，乙種獎品的單價為30元；(2)購買甲種獎品67個時，總費用最少

【解析】

(1)設甲種獎品的單價為元，則乙種獎品的單價為元，利用“480元購買甲種獎品的數目恰好與用360元購買乙種獎品的數目相等”為等量關系列方程求解即可；

(2)設購買甲種獎品個，則購買乙種獎品個，購買獎品的總費用為w元，由甲種獎品的數目不低于乙種獎品數目的2倍可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，根據總價=單價×數量可得出w關于m的一次函數關系式，再利用一次函數的性質即可解決最值問題．

(1)設甲種獎品的單價為元，則乙種獎品的單價為元．

由題意得，

解得，

經檢驗得是原方程的解，

∴,

答：甲種獎品的單價為40元，乙種獎品的單價為30元；

(2)設購買甲種獎品個，則購買乙種獎品個，

由題意得：

解得：；

∵取正整數；

∴；

設購買獎品的總費用為w元，

由題意得：，

即，

∵，

∴隨的增大而增大，

∴時，最小；

答：購買甲種獎品67個時，總費用最少．