Question

【題目】研究發現，二次函數（）圖象上任何一點到定點（0，）和到定直線的距離相等．我們把定點（0，）叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．

（1）寫出函數圖象的焦點坐標和準線方程；

（2）等邊三角形OAB的三個頂點都在二次函數圖象上，O為坐標原點，求等邊三角形的邊長；

（3）M為拋物線上的一個動點，F為拋物線的焦點，P（1，3）為定點，求MP+MF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）焦點坐標為：（0，1），準線方程為：y=-1；（2）8；（3）4．

【解析】

（1）根據焦點坐標為（0，），準線方程為y＝，即可得出答案．
（2）根據題意可設A（x，y），B（-x，y），從而根據等邊三角形及拋物線的性質可得出∠AOE=30°，繼而可得出，代入可得出x和y的值，也可求出等邊三角形的邊長．
（3）點P到點F的距離等于點P到準線的距離，從而根據垂線段最短的知識可找到點M的位置，結合圖形可得出這個最小值．

解：（1）由題意得，焦點坐標為：（0，1），準線方程為：y=-1；
（2）設A（x，y），B（-x，y），

∵△OAB是等邊三角形，
∴∠AOE=∠AOB=30°，
∴y=x，
將點A坐標（x，y）=（x，x）代入函數解析式，可得x=x2，
解得：x=4，
故可得點A坐標為（4，12），三角形的邊長=OA==8．
（3）過點M作MN⊥準線，交準線于點N，

則由題意可得，MN=MF，
故可得：MP+MF=MP+MN，
結合圖形可得過點P作PE⊥準線，交準線于點E，則PE與拋物線的交點M'能滿足MP+MF最小，
此時M'P+M'F=PE=4．