Question

【題目】用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條邊上的逆平行線．如圖，為的截線，截得四邊形，若，則稱為邊的逆平行線；如圖，已知中，，過邊上的點作交于點，過點作邊的逆平行線，交邊于點．

（1）求證：是邊的逆平行線．

（2）點是的外心，連接，求證：．

（3）已知，，過點作邊的逆平行線，交邊于點．

①試探索為何值時，四邊形的面積最大，并求出最大值；

②在①的條件下，比較 大小關系．（“或”）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①，最大值；②=

【解析】

（1）由條件可證得∠B＝∠ACB，則∠BDE＋∠B＝180．∠BDE＋∠ACB＝180，結論得證；

（2）連接AO，BO,證得∠FEC＝∠B，由OA＝OC可得∠OAC＝∠OCA，∠BAO＝∠OAC，證出，即CO⊥FE，

（3）①設FC＝x，則BF＝6x，證△FEC∽△ABC，可得，同理可得，四邊形AGFE的面積可表示為S△ABCS△EFCS△BFG，利用二次函數的性質可求出最大值，得到點F為BC的中點，連接DF，根據EF為AB邊的逆平行線，可證得DF為AC邊的逆平行線， 得到G點與D點重合，再根據相似三角形的判定與性質求出AD的長；

②由①知G點與D點重合，故可得到AD＋BG＝AB．

（1）證明理由如下：

邊是的逆平行線；

（2）如圖1，連接，BO

是邊的逆平行線

點是的外心

=BO，

，AO=AO

∴△ABO≌△ACO

，

；

（3）如圖2，作AQ⊥BC

∵AB=AC，

∴AQ⊥BC，BQ=CQ=3

∴AQ=

S△ABC===12,

①設，，

∵∠FEC＝∠B，∠FCE＝∠ACB，

∴△FEC∽△ABC．

，

同理可得∠BGF＝∠C，∠FBG＝∠ABC

∴△FBG∽△ABC

∴

＝ (x3)2＋，

當時，此時有最大值，最大值為，

∴CF＝BF＝3，

如圖3，連接DF，

∵BF＝CF，∠B＝∠C，BD＝CE，

∴△BDF≌△CEF（SAS），

∴∠BDF＝∠CEF，∠BFD＝∠EFC，

∴∠BFE＝∠DFC，∠AEF＝∠ADF．

∵∠AEF＋∠B＝180，∠A＋∠BFE＝180，

∴∠C＋∠ADF＝180，∠A＋∠DFC＝180．

∴FD為邊AC的逆平行線，

由題意可知D與G點重合，

由=

過D點作DH⊥BC，

∴BF×DH=，故×3×DH=

解得DH=

∵AF∥DH

∴△BDH∽△BAF，設AD=a

∴BD=5-a

∴

故

解得a=

故，四邊形的面積最大值為；

②由①可得D與G點重合，

∴AD＋BG＝AB，

故答案為：＝．